?
4-1

?根轨迹的基本思路是在已知开环零、极点分布的基础上,应用根轨迹法则,找出闭环极点随某个参数变化时的分布规律。

?开环零、极点的变化对根轨迹图有极大的影响。因此,适当加入或调整零极点的位置可以改善系统的性能,如比例—微分控制就相当于加入了一个零点。

?分析控制系统的本质在于掌握闭环特征方程根的分布情况,只要画出根轨迹,就可以立即分析系统的稳定性、动态性能和稳态性能,即控制系统的全部信息均在根轨迹图中。

North China Institute of Science and Technology?

第四章? 线性系统的根轨迹法


1. 掌握根轨迹概念、根轨迹方程;

2. 熟练运用根轨迹法则;

3. 熟悉参数根轨迹、零度根轨迹、附加零点的作用;

4. 能利用主导极点、偶极子概念分析系统性能。


























































1. 掌握根轨迹概念、根轨迹方程;


2. 熟练运用根轨迹法则;


3. 熟悉参数根轨迹、零度根轨迹、附加零点的作用;


4. 能利用主导极点、偶极子概念分析系统性能。





根轨迹的概念、根轨迹方程、根轨迹绘制规则,由根轨迹分析系统性能。
参数根轨迹、系统性能的分析与估算。广义根轨迹的分析与应用。

本章介绍控制系统闭环特征根分析的图解法,独立性较强。是控制系统分析的三种重要方法之一。

根轨迹方程

根轨迹是由根轨迹方程,即闭环传递函数的特征方程决定的。

对于负反馈系统:

根轨迹学习或考研建议

?利用MATLAB软件绘制根轨迹十分方便、精准,信息量大,对教师的教和学生的学均有非常大的帮助,是解决控制或设计问题强有力的工具


在学习过程中,绘制根轨迹时利用MATLAB软件可以精确、定量而方便地绘制,当利用鼠标点击根轨迹拖动时,各种参数动态变化,读取信息十分方便、快捷,尤其是当零极点变化时,根轨迹有时变化莫测,这时MATLAB是非常有效的工具。????

如绘制单位负反馈系统的开环传递函数为

绘制K*0到无穷时的根轨迹。则可输入以下MATLAB命令语句:

num=1;???????????????? ?% 传递函数分子多项式

den=conv([1 1 0],[1 2]);?? ?% 传递函数分母多项式??

rlocus(num,den)? ????????% 绘制根轨迹命令?????????? ?

即可绘制出根轨迹。conv( )是一个常用的命令,可确定多项式乘法的系数。

其中,conv([1 1 0],[1 2]); 语句是实现分母系数乘法计算。如果单独输入den=conv([1 1 0],[1 2]),不加分号,就可以在屏幕上显示结果:

den=conv([1 1 0],[1 2])

den =

?? ???1???? 3???? 2???? 0

即得到分母多项式乘开的多项式系数。也可以手工乘开,再录入系数,但是这样麻烦,也容易出错。

注意:conv( )命令只能是两个多项式系数相乘,如果三个以上的多项式相乘,应先将两个乘开再和第三个相乘,以此类推。

根轨迹如图4-2所示。当用鼠标点击根轨迹上的一个点拖动时,各种数据会动态显示,数据读取非常方便。

本章学习的着力点

?熟练运用根轨迹法则,法则就是规律,熟练掌握可以快速绘制根轨迹,如果结合MATLAB软件则如鱼得水


零度根轨迹、参数根轨迹

零度根轨迹:本质为正反馈系统,轨迹方程






相对于常规根轨迹,零度根轨迹需要调整的法则:

除了分离角之外,所有法则中的(2k+1)都替换为2k????????????

规则4发生变化:根轨迹在实轴上的分布——某区域右侧实数

开环零、极点之和为偶数时是根轨迹。

参数根轨迹——又称广义根轨迹

控制系统关于开环增益KK*)的根轨迹称为常规根轨迹,其他参数的根轨迹统称为广义根轨迹。

处理方法:等效。即按照闭环传递函数特征方程进行等效,将可变参数转化到K*的位置,再按通用根轨迹画法绘制根轨迹。

??????????????????????????????? 图4-2? 根轨迹和参数显示

? 4-2根轨迹上被点击处的信息如下:

?(1) System: sys?????????????????? ??系统:名称为sys

? (2) Gain1.45 ????????????????????? 根轨迹增益:1.45

? (3) Pole-0.287+0.717i????? ???闭环极点:-0.287+0.717i

? (4) Damping0.372??????? ?????? 阻尼系数:0.372

? (5) Overshoot(%)28.4 %??????超调量:28.4 %

? (6) Frequency(rad/sec)0.773? ??角频率:0.773(rad/sec),纵坐标值。

非最小相位系统(重要概念)

s右半平面有开环极点或开环零点的系统。非最小相位系统可能构成正反馈系统。

注意:如果为负反馈系统,则下述(1)(2)(3)三个系统均应按0度根轨迹绘制,均为非最小相位系统,当变为根轨迹的标准式,即转换为首1形式时,都将产生一个负号,与系统的负反馈信号抵消成为正反馈系统,故需按正反馈系统对待,即应绘制0度根轨迹。

但是非最小相位系统不一定都按0度根轨迹绘制,如上述(4)(5)(6)系统,均为非最小相位系统,但不可按0度根轨迹绘制,当变为首1形式时,并不产生负号,因此应按常规根轨迹,即按180度根轨迹绘制。

4-1 已知系统结构图如图4-1所示。试绘制参数K*从零变化到无穷大时的根轨迹。(注:需确定分离点、渐近线、与虚轴的交点),判别闭环系统的稳定性。
0<>时系统根轨迹在虚轴左侧区域,此时闭环系统稳定,当K*>12时根轨迹进入虚轴右侧区域,系统不稳定。该题属于条件稳定问题,即当K*满足一定条件才稳定,需要进行判别。

根轨迹图谱